Людмила Екимова училась на фортепианном отделении в Челябинском музыкальном училище имени П. И. Чайковского у Р. Г. Гитлин - талантливой ученицы выдающегося представителя советской фортепианной школы А. Б. Гольденвейзера.
В 1976 году она закончила Петрозаводский филиал Ленинградской ордена Ленина государственной консерватории имени Н. А. Римского-Корсакова (кафедра специального фортепиано) у профессора, Заслуженного деятеля искусств КАССР, Заслуженного работника культуры России Ю. И. Тишкиной.
С 1977 года и по настоящее время работает преподавателем на кафедре специального фортепиано и камерно - концертмейстерского искусства Южно - Уральского государственного института искусств имени П. И. Чайковского и имеет высшую квалификационную категорию.
Многие выпускники Людмилы Екимовой продолжили своё образование в ведущих музыкальных высших учебных заведениях России и Европы. Многие ученики получили высокую оценку на различных международных фестивалях и конкурсах.
Людмила Екимова проводит мастер-классы, семинары, лекции и беседы, посвященные проблемам фортепианного исполнительского мастерства, а также является членом жюри на многих международных конкурсах в России, Болгарии и Германии.
В 1999 году Людмиле Екимовой было присвоено почетное звание Заслуженного работника культуры Российской Федерации.